женати да не надникна в монитора? Пиши,мажи....
Аз имам за случая отворен съседен прозорец с теоремата на Коши.
Трета страница изглежда доста обезсърчително-
За всяко фиксирано s ∈ [0, 1] функцията z(1, t) параметризира
кривaтата γ2.
Например, функцията
z(s, t) := (1 + s)e
2πit
, 0 ≤ s, t ≤ 1
е непрекъсната трансформация на C0(1) в C0(2).
Ще казваме в бъдеще, че двете криви са непрекъснато трансформируеми една в друга или хомотопни.
Ще докажем валидността на
Теорема 6.4 : Нека D е област в C и f ∈ A(D). Нека γ1, γ2 са две
затворени хомотопни криви, принадлежащи на D. Тогава
Z
γ1
f(z)dz =
Z
γ2
f(z)dz.
Доказателство: фиксираme s ∈ [0, 1] и полагаме γ(s) := z(s, t), t ∈ [0, 1].
Ще покажем, че функцията I(s) := R
γ(s)
f(z)dzе тъждествена константа.
Действително,
Z
γ(s)
f(z)dz =
Z
γ(s)
f(z(s, t))∂z(s, t)
∂t dt.
Изследвайки производната на I(s), получаваме
I
0
(s) = Z
γ(s)
f(z(s, t))∂z(s, t)
∂t dt =
Z
γ(s)
[
∂f(z(s, t))
dt
∂z(s, t)
∂s
∂z(s, t)
∂t +f(z(s, t))∂
2
z(s, t)
∂s∂t ]dt.
От друга страна,
∂
dt(f(z(s, t))∂z(s, t)
∂s ) = ∂f(z(s, t))
dt
∂z(s, t)
∂t
∂z(s, t)
∂s + f(z(s, t))∂
2
z(s, t)
∂t∂s .
От теоремата на Weierstrass за независимостта на частните производни от реда на диференциране получаваме
dI(s)
dt =
Z 1
0
∂
dt[f(z(s, t))∂z(s, t)
∂s ]dt = f(z(s, 1))∂z(s, t)
∂s (s, 1)−f(z(s, 1))∂z(s, t)
∂s (s, 0).
