Теория на хаоса
Ако пеперуда размаха крилата си в Пекин, това може да доведе до торнадо в Ню-Йорк.
Народна мъдрост:
Поради липса на гвоздей обувките се загубиха;
поради липса на обувки коня се загуби;
поради липса на кон ездачът се загуби;
поради липса на ездач съобщението се загуби;
поради липса на съобщение битката бе загубена;
поради загубената битка кралството се затри
Малки вариации в първоначалните условия на динамичните системи водят до непредсказуеми огромни промени в крайните резултати.
Или с други думи-всяко наше решение отваря пропаст между бъдещето преди и след вземане на решението.
Първият истински експериментатор относно хаоса е метеорологът Едуард Лоренц. През 60-те той е работил върху проблема с прогнозата на времето. Един ден през 1961 год той е искал да види някакви частични следствия в прогнозата си и, за да спести време, е поставил данните от средата, а не от началото на компютърната си програма и е оставил принтера да разпечатва данните.
Когато се върнал след 1 час, резултатите били съвсем различни от тези с началните данни. Лоренц проследил какво се е случило и установил, че разминаването между начални данни и въведените от средата имали разминаване след третия знак след десетичната запетая. Оригиналните данни били ,506127, а при новата схема въведени били само ,506...
При всички конвенционални изследвания се считало, че разликата след четвъртия десетичен знак е минимална и резултатите тряба да бъдат сходни. Научните работници се считали за щастливи, ако могат да направят опити и измерят резултати с точност до третия десетичен знак. Смятало се, че от четвъртия десетичен знак-по принцип невъзможен за отчитане-крайните резултати имат незначителни отклонения и могат да бъдат пренебрегнати. Лоренц доказал, че това е грешна идея.
Този ефект е известен в научните среди като ефекта на пеперудата.
Размахването на крилете на една единствена пеперуда днес предизвиква фини промени в атмосферата. С времето атмосферните промени се увеличават и държанието на атмосферата започва да се различава от това, което би било преди размахването на крилете на пеперудата. След месец време торнадото, което би трябвало да се случи на индонезийския бряг, не се случва. Или може би се случва торнадо, което първоначално не е трябвало да се случи
Ян Стюарт-"Играе ли бог на зарове? Математика на хаоса"-стр. 141
Феноменът, известен като теория на хаоса, е познат и като зависимостта на чувствителните системи от началните условия. Съвсем малки изменения в началните условия могат в дългосрочен план да доведат до драстични промени в системата. Със стартово число 2 крайният резултат е изцяло различен в сравнение със стартово число 2,00000001.
През 1963 год. Лоренц публикува резултатите от изследванията си, но за съжаление единственото място, в което го прави, е метеорологично списание. Едва години по-късно математиците откриват Лоренц, така както той е открил теорията на хаоса.
Много научни работници смятат, че 20-и век ще се запомни с три теории-на отосителността, квантовата теория и теорията на хаоса.
гугъл преводач
Детерминиран хаос
една система е хаотична, ако нейната траектория през пространството на състоянието е чувствително зависима от началните условия, тоест ако ненаблюдаемо малки причини могат да произведат големи ефекти
През последните няколко десетилетия физиците осъзнаха, че дори системите, изучавани от класическата механика, могат да се държат по присъщо непредсказуем начин. Въпреки че такава система може да бъде напълно детерминистична по принцип, нейното поведение е напълно непредвидимо на практика. Това явление беше наречено детерминиран хаос.
За да обясним неговия произход, трябва да се върнем към концепцията за линейност. Линейността означава основно, че ефектите са пропорционални на причините. Ако ударите топката два пъти по-силно, тя ще отлети два пъти по-бързо. Друг начин за изразяване на това е адитивността: общият ефект е сумата от ефектите на отделните причини. Например, ако бутате кола с изчерпано гориво и искате тя да се движи два пъти по-бързо, можете или да бутате два пъти по-силно, или да намерите някой друг, който да ви помогне да бутате. Ефектът би бил същият. В примера с колата системата не е идеално линейна: когато натискате два пъти по-силно, колата няма да се движи точно два пъти по-бързо, а само приблизително. Не бихте направили голяма грешка обаче, ако предположите, че ефектът е пропорционален на вашите усилия. Много практически ситуации са такива: те не са точно линейни, но можете да ги приближите доста добре с линейна функция. Линейните уравнения се решават лесно, но нелинейните като цяло са много трудни или невъзможни за решаване. Следователно до началото на този век повечето нелинейни задачи в класическата механика бяха апроксимирани с линейни. Въпреки това започнаха да се натрупват случаи, при които линейните функции очевидно не бяха добри приближения.
Една от най-известните е задачата с три тела. Теорията на Нютон за гравитацията предлага просто решение на проблема с две взаимно привличащи се тела, например слънцето и една от неговите планети. Но щом трето тяло влезе в действие, например друга планета, проблемът става математически неразрешим. На практика астрономите работят с приближения, при които за основа се взема привличането към най-важното тяло, в случая слънцето, а ефектът на трето тяло се въвежда като смущение. Прогнозите, базирани на това приближение, на практика са много надеждни. Причината, поради която това работи, е, че гравитацията, упражнявана от планетите, е малка в сравнение с гравитацията, упражнявана от слънцето. Никой обаче не може да докаже, че те са абсолютно надеждни. Много е възможно слънчевата система да е нестабилна и че гравитационното привличане между различните планети може да накара една от планетите внезапно да избяга в открития космос.
Не можем да предвидим дали ще се появят такива катастрофални ефекти, защото те зависят от неоткриваеми промени в първоначалните условия. При проблема с двете тела, ако едно от условията се промени малко, ефектът няма да е много различен. Например, ако луната се приближи малко по-близо до Земята, нейната траектория ще остане почти същата. Това вече не е вярно в проблема с трите тела. Малка промяна в една от променливите, например скоростта на планетата Венера, може да доведе до напълно различен резултат, например планетата Марс да се блъска в слънцето. Това се нарича "чувствителна зависимост от началните условия". Ефектите са изключително чувствителни към промените в условията, които ги причиняват. Това е същността на нелинейността: ефектите вече не са пропорционални на причините. Малките причини могат да имат големи последствия. В известен смисъл "чувствителната зависимост" не е нищо повече от преоткриването от учените на старата мъдрост, която е уловена от фразата "заради липсата на подкова кралството беше загубено". Процеси, които са много чувствителни към малки колебания, се наричат хаотични. Това е така, защото техните траектории като цяло са много неправилни, така че създават впечатлението, че са произволни, въпреки че се задвижват от детерминистични сили.
Метеорологът Лоренц е изобретил още един израз - "ефектът на пеперудата". Докато изучава уравненията, които определят времето, той забелязва, че техните резултати са силно зависими от първоначалните условия. Времето е хаотична система. Най-малките колебания във въздушното налягане в една част на земното кълбо могат да имат най-зрелищните ефекти в друга част. Така пеперуда, която маха с крила някъде в Чикаго, може да предизвика торнадо в Токио. Това обяснява защо учените смятат, че е толкова трудно да предскажат времето. За да предвидят бъдещи ситуации, те трябва да познават настоящата ситуация в най-фините й подробности. Но очевидно те никога няма да могат да знаят всички подробности: не могат да наблюдават всяка пеперуда, която маха с крила! Колкото по-малко подробности знаят, толкова по-малко точни са техните дългосрочни прогнози. Ето защо надеждните прогнози за времето рядко се простират повече от няколко дни в бъдещето.
Толкова хаотичен процес
